Метод Эйлера

Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1) с соответствующим начальным условием (2). Расчетную формулу метода Эйлера получают, используя разложение функции u(x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки x_i:

(3)

Если приращение h мало (то есть h << x_i), то члены ряда, начиная со слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как малые величины. Тогда из (3) в первом приближении получим

 

(4)

Воспользуемся формулой (4), применив ее к единственной известной из условия задачи точке x₀. Найдем в x₀ производную , подставив (2) в (1):

Подставив последнее выражение в (4) и полагая x_i = x₀, получим или, сокращая обозначения, в окончательном виде

Таким образом, (4) при известном значении функции u₀ = u(x₀) в начальной точке x₀ позволяет найти приближенное значение u₁ = u(x₁) при малом смещении h от x₀. На рис. 1 графически показан начальный шаг решения методом Эйлера.

 

Рис. 1. Метод Эйлера

Решение можно продолжить, используя найденное значение функции u₁ для вычисления следующего значения – u₂. Распространяя эти рассуждения на последующие точки, запишем расчетную формулу метода Эйлера в виде

(5)

Из рис. 1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связана с используемой линейной аппроксимацией u(x). Хотя тангенс угла наклона касательной к кривой точного решения в точке (x₀,u₀) известен и равен , он изменяется при смещении от x₀ до x₁. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h расчет u₁ выполняется с погрешностью. Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h², так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются – см.(3) и (4). Уменьшая h можно снизить локальную ошибку на шаге.