Краткие теоретические сведения

Лекция № 16

Средства Matlab для решения ОДУ.

 

Краткие теоретические сведения.

Определение дифференциального уравнения: дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и…

Классификация уравнений

Дифференциальные уравнения принято делить на две группы: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат только одну независимую переменную, в качестве которой может выступать время или пространственная координата. Иначе говоря, в таких уравнениях все функции зависят только от одной переменной и их производные по этой переменной являются полными. Уравнения в частных производных содержат более одной независимой переменной. Этими переменными могут быть, например, одновременно пространственные координаты и время или только пространственные координаты для статической задачи. В таких уравнениях производные от функций по любой из независимых переменных являются частными. Кроме того, уравнение может содержать смешанные производные.

 

Основные понятия

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Общим решением уравнения 1 порядка называется функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением дифференциального уравнения.

Геометрическая интерпретация общего решения: общему решению на плоскости ХОУ соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной с.

Задача Коши

  и начальное условие (2) Требуется найти частное решение, т.е. функцию u(x), удовлетворяющую уравнению (1) и начальному условию (2).…

Аналитический метод решения дифференциальных уравнений в системе Matlab.

1. если задано уравнение вида, то х=dsolve, где первая производная функции обозначается Dх, - уравнение; x–… 2. если задано уравнение вида, то

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Одношаговые методы решения задачи Коши

К одношаговым относятся метод Эйлера (первого порядка), его модификация (второго порядка) и методы Рунге–Кутта (более высоких порядков).

 

Метод Эйлера

(3) Если приращение h мало (то есть h << xi), то члены ряда, начиная со…  

Модифицированный метод Эйлера

Графически модифицированный метод Эйлера представлен на рис. 2. Из рис. 2 видно, что поправка, учитывающая изменение наклона кривой u(x)заметно…   Рис. 2. Модифицированный метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта.

Рассмотренные выше метод Эйлера и его модификация по сути дела являются…  

Решения дифференциальных уравнений численными методами в среде Matlab.

В перечисленных функциях реализованы различные методы решения дифференциальных уравнений, поэтому выбор той или иной функции зависит от… Понятие: Система называется жёсткой если возможна потеря точности в процессе… Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем…

Некоторые задачи

Поле направлений

Кривые , в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное С, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших… Пример: Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить… Решение: Приравнивая правую часть уравнения к постоянной С, получаем уравнение изоклин . Сл-но, изоклинами являются…

Ортогональные траектории

Ортогональные траектории – кривые, пересекающие линии данного семейства под прямым углом. Если есть дифференциальное уравнение семейства, то -… Пример: Найти ортогональные траектории семейства эллипсов Решение: Дифференцируя уравнение по у, находим дифференциальное уравнение семейства .

Пакеты Matlab для решения дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений служит пакет Simbolik Math Toolbox- символьные вычисления на базе ядра пакета Maple.

Для численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных существует специальный пакет Partial Differential Equations Toolbox (PDETB). Этот пакет является самостоятельным приложением и в ядро MATLAB не входит.