Модифицированный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию u(x) на рассчитываемом шаге. Для этого при разложении u(x) в ряд Тейлора учтем дополнительно слагаемое, содержащее h² и в (3).

Графически модифицированный метод Эйлера представлен на рис. 2. Из рис. 2 видно, что поправка, учитывающая изменение наклона кривой u(x)заметно уменьшает ошибку на шаге h. Модифицированный метод Эйлера обеспечивает второй порядок точности. Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода пропорциональна h³. Повышение точности достигается за счет дополнительных затрат машинного времени при расчете каждого шага.

 

Рис. 2. Модифицированный метод Эйлера

Дальнейшее снижение погрешности решения можно получить за счет использования лучшей аппроксимации u(x), учитывающей слагаемые высоких порядков. Эта идея положена в основу методов Рунге-Кутта.