Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением.
Ортогональные траектории – кривые, пересекающие линии данного семейства под прямым углом. Если есть дифференциальное уравнение семейства, то - дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример: Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
Решение: Дифференцируя уравнение по у, находим дифференциальное уравнение семейства .
Отсюда, заменяя получим дифференциальное уравнения ортогональных траекторий .
Интегрируя, будем иметь (Семейство парабол).
>> syms x y
>> for a=1:10 % построение семейства эллипсов
hold on
ezplot(x^2+y^2-a^2)
end
>> y=dsolve('Dy=2*y/x','x') % диф. ур-ние ортогональных траекторий
y = C1*x^2
>> for C1=1:5 % построение ортогональных траекторий
hold on, y=C1*x^2
ezplot(y)
end
4.3.Пример решения геометрической задачи:
Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для которой отрезок любой её касательной, заключенной между координатными осями, делится пополам в точке касания.
Решение: Пусть есть середина касательной АВ, по условию являющаяся точкой касания (точки А и В – это точки пересечения касательной с осями координат). В силу условия Угловой коэффициент касательной к кривой в точке есть
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим
. И следовательно, . Используя начальное условие, определим С = 3*2 = 6 Итак, искомая кривая есть гипербола ху = 6.