Возведение в степень и извлечение корня.

· Возведение комплексного числа в степень Формула Муавра

Если п — целое положительное число, то [r(cosj+isinj)]ⁿ=rⁿ(cosnj+isinnj).

при возведении комплексного числа (в тригонометрической форме) в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

 

При возведении комплексного числа (в алгебраической форме) в целую положительную степень можно использовать формулы сокращённого умножения.

 

· Извлечение корня из комплексного числа

Определение 1: Корнем п-й степенииз комплексного числа называется такое комплексное число, п-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е.

Придавая k значения 0, 1, 2, ..., n-1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2p, и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Корень n-й степени из действительного числа А, отличного от нуля, также имеет п значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме:

A=|A|(cos0+isin0) при А>0,

A=|A|(cosp+isinp) при А<0.

 

Например: Вычислить все корни третьей степени из комплексного числа z=-3-3i.

 

Например: Вычислить все корни второй степени из комплексного числа z=-9.