Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.

 

Среди корней многочлена могут быть и комплексные.

Теорема 1:Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэффициентами, то сопряженное комплексное число`a=а-ib, также корень многочлена (r-кратный).

Перемножив два множителя (с сопряжёнными комплексными корнями) получаем:

Таким образом, произведение множителей, соответствующих сопряжённым комплексным корням, можно представить в виде квадратного трёхчлена с вещественными коэффициентами.

 

Теорема 2: Каждый многочлен с действительными коэффициентами Q(x) может быть представлен в виде произведения множителей с действительными коэффициентами первой и второй степеней соответствующей кратности:

Q(x)=A₀(x-а₁)^k1(x-а₂)^k2…(x-а_r)^kr(x²+p₁x+q₁)^l1… (x²+p_sx+q_s)^ls,

где k₁+k₂+…+k_r+2l₁+2l₂+…+2l_s=n.