Разложение рациональной функции на элементарные дроби.

 

Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представим в виде:

Q(x)=А(x-a)^r(x-b)^s…(x²+px+q)^t(x²+ux+v)^l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Метод неопределённых коэффициентов: Умножим обе части разложения на Q(x) и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях. Решим систему уравнений первой степени.

Теорема 2:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

,

где W(x) — некоторый многочлен, а R(x) — многочлен степени меньше, чем Q(x).