Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х0 (или при х®х0), если .
Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности.
Определение 2: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке х=х0 (или при х®х0), если .
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х®¥, х®+¥, х®-¥, х®х0-0, х®х0+0.
Теорема: Функция, обратная бесконечно большой функции является бесконечно малой и наоборот.
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций:
Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являются бесконечно малыми. Тогда:
1) если , то a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(х);
2) если , то a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка;
3) если , то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми и обозначается a(х)~b(х).
4) если , то a(х) называется бесконечно малой n-го порядка относительно b(х);
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.