Понятие дифференциала.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х₀, т. е. приращение Dу можно записать в виде суммы двух слагаемых:

Dу=АDх+a(Dх)Dх, где .

Первое слагаемое: АDх является при Dх®0 бесконечно малой одного порядка с Dх, оно линейно относительно Dх. Второе слагаемое: a(Dх)Dх при Dх®0 - бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх

.

Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции f(x).

 

Определение 1: Дифференциалом функции y=f(x) в точке х₀, называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции dy=ADх.

Но (принимаем без доказательства) А=f¢(х₀), поэтому dy=f¢(х₀)Dх.

 

Определение 2: Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dх=Dх. Получаем:

dy=f¢(х₀)dх и .