Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)≥0 (f¢(х)≤0) на (a, b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b).
Теорема 2 (признак возрастания (убывания): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)>0 (f¢(х)<0) на (a, b), то функция f(x) возрастает (убывает) на (a, b).
Определение 1: Точка х0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(х), если для всех х из некоторой d-окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(х0) (f(x)>f(х0)) при, х≠х0.
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.
Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство f(x)<f(х0) (f(x)>f(х0)) не обязано выполняться для всех значении х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0. Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причём может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.
Замечание: Если в определении знаки строгих равенств заменить на нестрогие, по получим точки нестрогого экстремума.
Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума): Если функция f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f¢(х0)=0.
Замечание: Если х1, х2, и х3 — точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Иногда такие точки называют стационарными (критическими); мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка х0 — точка возможного экстремума, т. е. f¢(х0)=0, то она может и не быть точкой локального максимума (минимума).
Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума): Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки х0. Тогда, если f¢(x)<f¢(х0) (f¢(x)>f¢(х0)) для всех х из (х0-d, х0), а f¢(x)>f¢(х0) (f¢(x)<f¢(х0)) для всех х из (х0, х0+d), то в точке х0 функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f¢(х) во всей d-окрестности точки х0 имеет один и тот же знак, то в точке х0 локального экстремума нет.
Другими словами, если f¢(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума, если f¢(x) в точке х0 меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума, если же знак f¢(x) в точке х0 не изменяется, то в точке х0 экстремума не существует.
Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума): Если в точке х0
первая производная функции равна нулю f¢(х0)=0,
а вторая производная существует и отлична от нуля f²(x)¹0, то при
f²(x)>0 в точке х0 – функция имеет минимумd, х0),
f²(x)<0 в точке х0 – функция имеет максимум.