Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x; f(x)) этого графика (a<x<b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку её угловой коэффициент, равный f¢(x), конечен.
Определение 1: Будем говорить, что график функции у=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз – вогнутость (выпуклость, направленную вверх – выпуклость), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).
Замечание: на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.
Теорема 1 (признак выпуклости (вогнутости)): Если функция f(х) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f²(х)≥0 (f²(х)≤0) на (a, b), то функция f(x) вогнута (выпукла) на (a, b).
Определение 2: Точка М(х0; f(х0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба): Если функция f(х) имеет в точке х0 перегиб и дважды дифференцируема в этой точке, то f²(х0)=0.
Замечание: Если в точке х0 f²(х0)=0, то она может и не быть точкой перегиба.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба): Пусть функция f(х) дважды дифференцируема в некоторой d-окрестности точки х0. Тогда, если f²(x)<f²(х0) (f²(x)>f²(х0)) для всех х из (х0-d, х0), а f²(x)>f²(х0) (f²(x)<f²(х0)) для всех х из (х0, х0+d), то в точке х0 функция f(х) имеет перегиб, если же f²(х) во всей d-окрестности точки х0 имеет один и тот же знак, то в точке х0 перегиба нет.
Другими словами, если f²(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», или с «-» на «+», то х0 — точка перегиба, если же знак f²(x) в точке х0 не изменяется, то в точке х0 перегиба не существует.