Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v≠0.
y=u·v
y¢=u¢·v+u·v¢
Подставляя выражения у и у¢ в заданное уравнение получаем:
u¢·v+u·v¢+Р(x)·u·v =Q(x)
или
u¢·v+u·(v¢+Р(x)·v) =Q(x).
Подберём функцию v так, чтобы v¢+Р(x)·v=0, то есть решим u¢·v=Q(x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.
Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.
Запишем окончательный ответ в виде: y=u·v.