Основные типы формальных моделей

 

Модель «черного ящика». Приведенное выше определение ничего не говорит о внутреннем устройстве системы. Поэтому ее можно изобразить в виде «непрозрачного ящика», выделенного из окружающей среды. Уже в этой простейшей модели просматриваются два важных свойства системы: целостность и обособленность от среды. Однако обособленность не означает изолированности. Система неизбежно связана с окружающей средой, через эти связи она на нее воздействует. В дальнейшем эти связи назовем выходами системы. Аналогично, всегда имеются связи обратного направления – входы. В результате получаем так называемый черный ящик.

Рис. 1.5 Модель «черного ящика»

 

Пример. Телевизор как черный ящик состоит из входов (шнур питания, антенна, кнопки настройки) и выходов (кинескоп, динамики).

В формальном описании приходится задавать два множества:

Х – входные переменные Y– выходные переменные.

 

Сложности построения модели «черного ящика». Казалось бы, так просто: перечислить входы и выходы системы – и модель готова. Но как только мы пытаемся конкретизировать модель, мы сталкиваемся с трудностями, и главная – множественность входов и выходов.

Например, в предыдущем случае ко входам/выходам телевизионного приемника можно было бы добавить видео/вход и видео/выход, аудио и т.д. Причина множественности в том, что реальная система взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным числом способов. Строя модель системы, мы из этого бесчисленного множества связей отбираем конечное их число для включения в список входов и выходов. Критерием отбора является целевое назначение модели, существенность той или иной связи по отношению к этой цели. Именно здесь возможны ошибки. Тот факт, что мы не учитываем в модели ряд связей не лишает их реальности, они все равно действуют независимо от нас. И нередко оказывается, что казавшееся несущественным или неизвестным для нас на самом деле является важным и должно быть учтено.

Модель «черного ящика» оказывается не только очень полезной, но и в ряде случаев единственно применимой. Например, при изучении влияния лекарств на живой организм мы лишены возможности вмешательства в систему иначе, как только через ее входы, и выводы делаем только на основании наблюдения за ее выходами. Другая причина того, что приходится ограничиваться моделью «черного ящика», – действительное отсутствие данных о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем как «устроен» электрон, но знаем, как он взаимодействует с электрическим и магнитным полями. Это и есть описание электрона на уровне «черного ящика».

Модель состава системы. Очевидно, что вопросы, касающиеся внутреннего устройства системы невозможно решить только с помощью модели «черного ящика». Для этого необходимы более развитые и детальные модели.

При рассмотрении любой системы прежде всего обнаруживается, что её целостность и обособленность выступают как внешние свойства. Внутренность же «черного ящика» оказывается неоднородной, что позволяет различать составные части самой системы. Те части системы, которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элементами. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, назовем подсистемами. В результате получается модель состава системы.

Рис. 1.6 Модель состава системы

 

Построение модели состава системы только на первый взгляд кажется простым делом. Однако, если дать разным экспертам задание определить состав одной и той же системы, то результаты будут различаться и весьма существенно по следующим причинам:

1. У экспертов может быть различная степень знания системы;

2. Понятие элемент – относительно. То, что в одной ситуации является элементом, в другой – оказывается подсистемой;

3. Модель состава является целевой. Поэтому один и тот же объект потребуется разбить на разные части для различных целей. Например, университет для ректора, гл. бухгалтера и начальника охраны состоит из различных подсистем.

4. Всякое разделение целого на части – условно. Например, тормозную систему автомобиля можно отнести к его ходовой части или к подсистеме управления. В результате, границы между подсистемами – относительны, условны. Этот же вывод справедлив и для границы между самой системой и окружающей средой.

Модель структуры системы. Дальнейшее расширение модели «черного ящика» связано с описанием структуры системы. Чтобы изготовить телевизор, недостаточно иметь необходимый комплект радиодеталей (транзисторы, резисторы ИМС и т.д.). Необходимо еще правильно соединить их между собой, т.е. установить между элементами определенные связи – отношения. Совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами называется структурой системы.

Перечень связей между элементами является абстрактной моделью, т.к. устанавливаются только отношения между элементами, но не рассмотрены сами элементы. Бесконечность природы проявляется и в том, что между реальными объектами, вовлеченными в систему, имеется бесконечное количество отношений, В результате, в модель структуры мы включаем конечное число отношений (связей), которые по мнению исследователя существенны по отношению к рассматриваемой цели.

Пример 1: при расчете электродвигателя не учитываются сила притяжения между ротором и статором.

Пример 2: при соединении деталей изготовленных из разным металлов возникает контактная разность потенциалов. В системе «молот – наковальня» нет необходимости учета этого эффекта.

Свойство и отношение. Рассмотрим кратко связь понятий «отношение» и «свойство». В отношении участвует не менее двух объектов, а свойством мы называем некий атрибут одного объекта. Между этими понятиями имеется содержательная связь:

1. Потенциальная способность обладать определенным качеством выявляется в процессе взаимодействия объектов друг с другом (свойства выявляются в результате отношений);

2. Свойство можно также рассматривать как определенную абстракцию отношения. Мы говорим – стекло прозрачно, вместо того чтобы каждый раз выделять отношения между лучом света, самим стеклом и приемником света. Другими словами, можно утверждать, что свойство – это свернутое отношение.

Структурная схема системы. На основе предыдущего рассмотрения можно сформулировать второе определение системы: система есть совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как целое. Конкретным выражением этого является структурная схема системы, в которой указываются сами элементы, связи между ними и связь определенных элементов с окружающей средой. Пример – «синхронизируемые часы» (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Структурная схема часов

 

Динамические модели систем. Рассмотренные выше понятия относились к так называемым статическим моделям систем, что подчёркивает их неподвижный, как бы застывший характер. А как система работает, что происходит с ней и окружающей средой в ходе реализации поставленной цели?

Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения во времени, будем называть динамическими (как и их модели). Уже на этапе «черного ящика» различают два типа динамики системы: её функционирование и развитие. Под функционированием понимают процессы, которые происходят в системе (и окружающей её среде), стабильно реализующей фиксированную цель, например, функционируют часы, кинотеатр, школа, радиоприемник и т.д. Развитием называют то, что происходит с системой при изменении её целей. В этом случае существующая структура перестает соответствовать новой цели и приходится её изменять, а иногда и перестраивать систему.

При построении динамических моделей следует различать этапы происходящего процесса, рассматривать их во взаимосвязи. Например, динамический вариант «черного ящика» потребует задания начального (вход) и конечного (выход) состояний системы.

 

1.8.3 Математическое представление модели «черного ящика»

 

При математическом моделировании некоторого процесса его конкретная реализация представляется в виде соответствия элементов различных множеств. Например, множество входных воздействие Х включает возможные значения элементов х, а упорядоченное множество Т состоит из моментов времени t. Тогда их взаимное отображение формализуется так:

Изменения множества Х происходит во множестве Т.

Элементы х зависят от t и принадлежат множеству ХТ (другими словами: множество Х существует во множестве Т, где время может принадлежать только множеству Т).

Конкретизируем эту запись применительно к динамической модели «черного ящика», показанной на рис. 1.8.

Рис. 1.8 Динамическая модель «черного ящика»: задание процессов на входах и выходах системы

 

Здесь выход(ы) y(t) системы можно рассматривать как ее реакцию на управляемые параметры u(t) и неуправляемые параметры v(t) со стороны входов x(t) = { u(t), v(t) }. В результате, модель «черного ящика» выражается как совокупность двух процессов: и .

ХТ – входное множество Х в рамках временного множества Т.

YТ – выходное множество Y в рамках временного множества Т.

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф процесса x(t) т.е. y(t) = Ф(x(t)) то предполагается, что при описании модели «черного ящика» это преобразование неизвестно.

В том же случае, когда мы имеем дело с «белым ящиком» соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом, зависящим от того, что нам известно, и в какой форме можно использовать эти знания.

Состояние динамической системы. В наиболее общей модели вводится также понятие состояние системы как некоторой внутренней характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние системы можно рассматривать как своего рода хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее. Обозначим его через z(t). Сказанное выше означает существование такого отображения h что y(t)=h(t,z(t)), ,

z(t) принадлежит множеству состояний Z.

Явная зависимость h от t введена для учета возможности изменения выхода от состояния с течением времени. Это отображение называется отображением выхода.

Состояние выхода в момент t определяется состоянием системы в момент t через отображение h.

Для завершения построения модели нужно описать связь между входом и состоянием, т.е. ввести параметрическое семейство отображений , заданных для всех значений параметров t Т, t Т и t £ t. это означает принятие аксиомы о том, что состояние в любой момент t > t однозначно определяется состоянием Zt в момент t и отрезком реализации входа х(.) от t до t:

– функционал преобразования входа (в момент t)

– семейство отображений входа

Такое отображение называют переходным отображением.

Итак, математическая модель системы, соответствующая уровню «белого ящика», – это задание множеств входов, состояний, выходов и связей между ними:

Конкретизируя множества X, Y и Z и отобра­жения s и , можно перейти к моделям различных систем и предложить их классификацию.

1. Дискретные и непрерывные по времени системы оцениваются в зависимости от того, дискретно или непрерывно множество Т.

2. Конечные автоматы имеют множества X, Z, и Y с конечным числом элементов.

3. Линейным системам соответствуют линейные пространства множеств X, Z, и Y и линейные операторы преобразований.

4. Если ввести дополнительные требования непрерывности, приходим к так называемым гладким системам, которые можно описывать на основе дифференциальных уравнений.

5. Стационарные системы – класс гладких систем, не изменяющихся во времени (т.е. находящихся в состоянии функционирования, но не развития – цель постоянна).

Важным свойством моделей динамических систем является их подчиненность принципу причинности. Согласно этому принципу отклик системы на некоторое воздействие не может начаться раньше самого воздействия. Это условие, очевидное для реальных систем, совсем не автоматически выполняется в рамках их математических моделей. При этом модель, в которой нарушается принцип причинности, не обязательно является «плохой», бесполезной. Примером служит модель фильтра с конечной полосой пропускания. Отклик такой системы на единичный короткий импульс имеет вид sinw0t/(w0t), т.е. начинается в минус бесконечности. Несмотря на явное нарушение принципа причинности такая модель широко используется в радиотехнике. Однако, как только возникает вопрос о практической реализации такого фильтра становится ясно, что она невозможна в точном смысле, хотя допустимы различные приближения. В связи с этим одна из проблем теории динамических систем состоит в выяснении условий физической реализуемости теоретических моделей. Последнее приводит к необходимости введения различных ограниче­ний.

Типы моделей систем. При всем невообразимом многообразии реальных систем принципиально различных типов моделей систем очень немного: «черный ящик», модель состава, модель структуры, структурная схема системы («белый ящик»).

 

Рис. 1.9 Типы моделей систем

 

Можно сказать, что структурная схема («белый ящик») получается как результат «суммирования» моделей «черного ящика», состава и структуры системы. Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формальной модели конкретное содержание, т.е. решить, какие аспекты реальной системы включать как элементы модели, а какие – нет. Этот процесс весьма трудно формализовать, и как результат, построение содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим. Тем не менее, интуиции эксперта, разрабатывающего содержательную модель, немало помогают формальная модель и рекомендации по ее наполнению конкретным содержанием. Формальная модель является «окном», через которое эксперт смотрит на реальную систему, строя содержательную модель. В этом процессе главной является задача создания полной модели, используя нижеследующие рекомендации:

· необходимо учесть все существенные факторы, влияющие на рассматриваемое явление; поскольку существенность не всегда очевидна, лучше включить в модель несущественный элемент, чем не включить существенный;

· наличие противоречивых элементов – один из признаков полноты модели (например, при перечислении выходов надо включить в перечень не только желательные выходы, но и нежелательные – «паразитные»);

· реальность богаче моделей, и в ней всегда есть неизвестные факторы; поэтому вопрос о дополнении модели еще одним элементом всегда актуален.