Локальные и глобальные экстремумы

Определения

Функция f(х), определенная на множестве S, достигает своего глобального минимума в точке x**Î S в том и только том случае, если

f(x**) £ f(x) для всех xÎ S.

Функция f(х), определенная на множестве S, имеет локальный, ми­нимум (относительный минимум) в точке x*Î S в том и только том случае, если

f(x*) £ f(x), для всех х, удаленных от х* на расстояние, меньшее e,

т. е., если существует e > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х - х*|<e, выполняется неравенство f(x*)£ f(x).

Замечания

1. Аналогичные определения глобального максимума и локаль­ного максимума можно получить путем замены знака неравенства на противоположный.

2. Если функция обладает свойством унимодальности, то ло­кальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

 

 

Рис. 6.48 Локальные и глобальные оптимумы

 

3. Если функция не является унимодальной, то возможно наличие нескольких локальных оптимумов; при этом глобальный минимум можно определить путем нахождения всех локальных оптимумов и выбора наименьшего из них.