Решение

Ищем решение данного уравнения методом разделения переменных (п. 11 [1]). Согласно (17.9 [1]), общее решение этого уравнения имеет вид:

,где

Так как мы ищем решение в ограниченной области, выберем первый вариант: В силу граничного условия u(0,y) = 0 получаем А = 0. Аналогично из условия u(x,0) = 0 получаем: С = 0. Таким образом, Из второй пары граничных условий находим: откуда . Отсюда получаем значение первой константы разделения . Аналогично находим вторую константу разделения .

Следовательно, решение исходного уравнения возможно только для счётного множества значений константы γ:

и имеет вид: , где u₀ – произвольная константа.