Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L.
Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а1, а2, а3, … аn.
Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация
α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты
α 1 =α 2 =α 3 =…=α n=0.
Определение: Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1, α2 ,α3 … αn, не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn= 0.
Примеры:
Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.
1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .
| α2а2 |
| α1а1+α2а2 |
а1 α1 а1
Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.
2) Рассмотрим два ненулевых , коллинеарных вектора а1 ║а2.
| а1 |
| а2 |
Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.