Теорема о разложении вектора по базису.

Теорема. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом, в ЛК базисных векторов этого пространства.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерности n с базисом l₁, l₂, ... ,l_n. Вектор а Є ЛП. Система векторов l₁, l₂, ... ,l_n, а содержит (n+1) вектор, а пространство размерности n. Отсюда следует, что система ЛЗ, т.е. линейная комбинация

α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+α_n+1a = 0, причем среди коэффициентов есть ≠ 0.

Покажем, что коэффициент α_n+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что α_n+1 = 0. Тогда α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+0 a = 0.

Отсюда следует, что α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n = 0 и есть ≠ 0 коэффициент.

Получили противоречие тому, что базис l₁, l₂, ... ,l_n – ЛНЗ.

Отсюда следует α_n+1 ≠ 0.

Следовательно, мы доказали, что коэффициент α_n+1 ≠ 0.

Разделим на коэффициент α_n+1:

 

Отсюда следует, что вектор а - ЛК базисных векторов.

Докажем единственность разложения базиса от противного.

Пусть есть два разложения вектора а по базису.

a = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

a = β ₁ l₁+ β ₂ l₂+ ... + β _n l_n

 

0 = (α₁- β₁) l₁+ (α₂- β₂) l₂+ … + (α_n- β_n) l_n.

Т.к. базис - ЛНЗ, то коэффициенты α₁- β₁=0, α₂- β₂=0, α_n- β_n=0.

Отсюда следует α₁=β₁, α₂=β₂ , α_n=β_n, т.е. коэффициенты совпали. Единственность разложения доказана.

Ч.т.д.