1. Возрастающие и убывающие функции.
| Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. "x1<x2 выполняется f(x1)< f(x2). |
| ||
| Функция y=f(x) называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции, т.е. "x1<x2 выполняется f(x1)>f(x2). |
|
Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом интервале.
2. Четные, нечетные и периодические функции.
Функция y=f(x) называется нечетной, если область определения функции D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=-y(x).
График нечетной функции имеет симметрию относительно точки О(0;0). Пример: y=x3.
Функция y=f(x) называется четной, если область определения D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=y(x).
График четной функции имеет симметрию относительно оси Оy.
Пример: y=x2.
Функции, не являющиеся четными или нечетными, называются функциями общего вида.
Пример: y=x2+x+1 или y=x+2.
Функция y=f(x) называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если f(x+T)=f(x).
Пример: sin(x+2p)=sin x, где T=2p;
cos(x+2p)=cosx, где T=2p;
tg(x+p)=tgx, T=p;
ctg(x+p)=ctg x, T=p.
Уравнение F(x,y)=0 задает y как неявную функцию от x.
Пример: ey +x =0 ‒ неявное задание функции.
x2y3+cos(xy4)=0 – неявное задание функции.
y=x3+1/x – явное задание функции.
3. Сложная и обратная функции.
Пусть функция y=f(x) действует из множества D во множество E (D®E), а функция x=x(t) действует из множества T во множество D (T®D), тогда сложная функция y=f(x(t)) действует из T в E.
Пример: y=sin(y2+1) - функция x(t)=t2+1, функция y(x)=sin x.
Пусть y=f(x) действует D®E, обратная функция x=j(y) действует из E®D.
Пример: y=2x –3. Выразим отсюда x: x=(y+3)/2, заменим x на y, а y на x y=(x+3)/2 – обратная функция.