Доказательство:
Вспомним число как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.
n х<n+1.
Перейдем к обратному выражению:
Возведем в степень:
Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:
По теореме «о двух милиционерах»:
II случай.
Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:
.
Ч.т.д.
Второй замечательный предел для функций:
Пример:
1) =
2) =