Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение Dy. .
Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x0.
.
Обозначают производную , , y', , .
Замечание: Если изменить x0, то будет изменяться и производная функции в точке x0, следовательно, производная функции тоже является функцией.
Пример: Найти по определению производную функции y=x2.
Возьмем произвольную точку x, дадим приращение Dx, x®x+Dx. Функция получит приращение Dy: = = = .
Рассмотрим предел = =
Итак, производная .