Операционное исчисление

Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений. В данном разделе мы ознакомимся со способом, использующим операционное исчисление. Этот способ применяется к линейным ОДУ, он позволяет преобразовывать дифференциальное уравнение в алгебраическое.

Изобретателем операционного исчисления является Оливер Хевисайд (1859-1925), английский ученый и инженер. Он ввел оператор дифференцирования, который обозначил латинской буквой (сейчас этот оператор принято обозначать буквой ) и разработал правила обращения с этим оператором.

Пример 9.2.Применим метод Хевисайда к уравнению (9.4):

Предположим, что на вход схемы подан ступенчатый входной сигнал

а на выходе в начальный момент времени имеем: , (нулевые начальные условия). Исходное уравнение при преобразуется к следующему виду:

.

Затем Хевисайд преобразовывал дифференциальное уравнение в алгебраическое, при этом оператор дифференцирования превращался в обычную переменную . Неизвестная функция при переходе обращалась в произведение: , производная первого порядка в: , производная второго порядка – в: .

.

Решая это алгебраическое уравнение относительно , приходим к уравнению

.

Полученное уравнение еще не является окончательным. Необходимы преобразования, позволяющие перейти от переменной к переменной , являющейся аргументом функции . Эти преобразования производятся в соответствии с алгоритмом:

,

где – корни уравнения , .

После преобразований окончательно получим

.

График функции при значениях параметров R=1; C=2; L=0,1 – показан на рис. 9.2.

Рис. 9.2.Реакция -цепи на ступенчатый входной сигнал