Метод решения неоднородного рекуррентного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение

,

n = 0, 1, 2, …, коэффициенты – это заданные постоянные, причём , а – заданная функция n. Для задания начальных условий фиксируем значения .

Предположим, что одно решение уравнения найдено. Назовём это решение частным и обозначим через . Положим

.

Тогда: .

Так как второй член в левой части последнего равенства равен правой части, то

.

Это означает, что является решением однородного линейного рекуррентного уравнения, соответствующего = 0.

Таким образом, если найдено частное решение, то можно найти общее решение однородного рекуррентного уравнения. После чего по начальным условиям можно определить неопределённые коэффициенты. Для некоторых функций частное решение можно найти достаточно просто. Так, в случае если , где – константа, то частным решением является

, (10.2)

где – характеристический многочлен.

Доказательство. Подставляя , где с – постоянная, в неоднородное рекуррентное уравнение, получаем . Таким образом: . Отсюда следует формула (10.2).

Пример 10.5. Найти решение уравнения с начальными условиями .

Решение: Данное уравнение имеет характеристический многочлен . Если бы правая часть уравнения была равна , то частным решением было бы . Для соответствующее частное решение . Общее решение равно:

.

По начальным условиям находим:

, , , ,

.

Если является многочленом от n степени k

и единица не является характеристическим корнем рекуррентного уравнения, т.е. , то частное решение следует искать в виде:

.

Подставляя этот многочлен в неоднородное рекуррентное уравнение, получим:

.

Так как , то, сравнивая коэффициенты при высших степенях в левой и правой частях последнего равенства, можно определить значение и далее последовательно коэффициенты .

Пример 10.6. Найти решение уравнения с начальным условием .

Решение: Находим характеристический многочлен: ; . Поскольку , то k=1. Значит . Записываем рекуррентное уравнение

.

Отсюда следует , .

Общее решение: . Из начального условия находим и .