Если ввести обозначение , то теорема сдвига примет следующую форму . Здесь – имеет смысл оператора сдвига, посредством которого решетчатой функции ставится в соответствие та же функция со сдвинутым аргументом . В этом случае дискретное преобразование Лапласа можно представить следующим образом
. (11.2)
В этом случае оно называется z-преобразованием. Это преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения. При такой замене трансцендентные функции от аргумента q преобразуются в рациональные функции от аргумента z.
Отыскание оригиналов по изображениям для дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования производится по формулам, подобным формулам, применяемым в случае обычного преобразования Лапласа. В табл. 11.1 приведены некоторые формулы z-преобразования решетчатых функций.
Таблица 11.1
n | |
Пример 11.1. Решим разностное (рекуррентное) уравнение
где
Для этого найдем -преобразование этого уравнения
.
Отсюда следует
.
Изображение известной функции можно представить в виде
.
Таким образом
Решетчатая функция равна коэффициентам полученного ряда
.