Теорема 11.9.

, (). (11.25)

Доказательство.

.

 

Теорема 11.10. Если – произвольное комплексное число, то

, (). (11.26)

Доказательство.

Замечание 11.1. Если , то

. (11.27)

Следствие: Используя формулы, выражающие гиперболические и тригонометрические функции через экспоненциальную функцию

, ,

, ,

приходим к следующим уравнениям:

, (11.28)

, (11.29)

, (11.30)

, (11.31)

().

Замечание 11.2. Если , то

, (11.32)

, (11.33)

, (11.34)

. (11.35)

Эти приближенные формулы похожи на точные формулы непрерывного операционного исчисления, но здесь вместо оператора дифференцирования используется оператор вычитания , а вместо единичного оператора – оператор . Формулы (11.27) и (11.32)-(11.35) позволяют использовать дискретное операционное исчисление для численного решения задач непрерывного операционного исчисления.