, (). (11.25)
Доказательство.
.
Теорема 11.10. Если – произвольное комплексное число, то
, (). (11.26)
Доказательство.
Замечание 11.1. Если , то
. (11.27)
Следствие: Используя формулы, выражающие гиперболические и тригонометрические функции через экспоненциальную функцию
, ,
, ,
приходим к следующим уравнениям:
, (11.28)
, (11.29)
, (11.30)
, (11.31)
().
Замечание 11.2. Если , то
, (11.32)
, (11.33)
, (11.34)
. (11.35)
Эти приближенные формулы похожи на точные формулы непрерывного операционного исчисления, но здесь вместо оператора дифференцирования используется оператор вычитания , а вместо единичного оператора – оператор . Формулы (11.27) и (11.32)-(11.35) позволяют использовать дискретное операционное исчисление для численного решения задач непрерывного операционного исчисления.