Хевисайд не дал строгого математического обоснования своего метода. Это было сделано позже с помощью интегрального преобразования Лапласа. В результате такого преобразования функция , зависящая от переменной и называемая оригиналом, преобразуется в функцию , называемую изображением (она зависит от комплексной переменной ):
. (9.5)
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой:
, . (9.6)
Чтобы интегралы (9.5) и (9.6) сходились, оригинал должен удовлетворять следующим условиям.
1. – однозначная, непрерывная или кусочно-непрерывная вместе со своими производными -го порядка при ;
2. растет не быстрее, чем некоторая показательная функция, что означает существование таких постоянных положительных чисел и , не зависящих от , при которых для всех ;
3. при .
Соответствие между изображением и оригиналом обозначают следующим образом:
или ,
, .
Помимо изображения по Лапласу применяется также изображение функции по Карсону (или по Хевисайду)
,
отличающееся от преобразования Лапласа множителем . В последнее время в технической литературе все чаще пользуются изображением по Лапласу. Это объясняется наличием наглядной связи между операторным методом и гармоническим анализом, вносящей физический смысл в понятие изображения (изображение по Лапласу – это спектральная функция по отношению к затухающей функции , для которой переменная является частотой).