Производящая функция
Степенной ряд 
, коэффициентами которого являются элементы последовательности 
, называется производящей функцией. Последовательность чисел однозначно определяет производящую функцию, но обратное утверждение верно не всегда. Если указанный степенной ряд сходится, то коэффициенты 
определяются по F(z) однозначно. Производящая функция отличается от z-преобразования только тем, что степени (при разложении этой функции в степенной ряд) положительны, в то время как у z-преобразования – они отрицательны. Простой заменой переменной можно преобразовать производящую функцию в z-преобразование. Поэтому для производящих функций справедливы все теоремы дискретного преобразования Лапласа.
Пусть 
– производящая функция последовательности чисел 
, а a и b – произвольные фиксированные числа.
Поскольку 
, то последовательности 
отвечает производящая функция 
. Это соответствует свойству линейности преобразования Лапласа. Далее, если взять произведение производящих функций
,
то последовательность чисел 
может быть получена из последовательностей 
и 
с помощью соотношения
.
Последняя формула следует из теоремы о свертке двух решетчатых функций.
Пример 10.1. Найдем производящие функции последовательностей чисел {1} и {n}.
Решение: Последовательности {1} соответствует ряд:
.
Для доказательства необходимо левую и правую часть умножить на 
.
Последовательности чисел {n} соответствует ряд
.
Поскольку выражение в скобках в правой части равенства получается дифференцированием ряда 
, то оно равно производной от функции 1/(1 – z). Следовательно, правая часть равна
.
Следующая задача показывает, что производящие функции могут быть полезными при решении линейных рекуррентных уравнений.
Пример 10.2. Решить уравнение 
(уравнение Фибоначчи) с начальными условиями 
.
Решение: Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности чисел . Умножая обе части рекуррентного уравнения на 
, получим
, n = 0, 1, 2 …
Складывая эти равенства для всех n от 0 до ∞, имеем:
.
Заметим, что первая сумма в левой части равенства равна разности функции F(z) и первых двух членов её разложения 
, вторая сумма равна разности F(z) и первого члена 
, а третья сумма равна F(z). Поэтому можем записать
[F(z) – (1 + z)] – z [F(z) – 1] – z2 F(z) = 0.
Отсюда находим
,
где 
; 
. В результате получим
.
Таким образом: 
Члены последовательности, полученной в этой задаче, известны как числа Фибоначчи.