Пусть в пространстве векторы образуют базис этого пространства. Выберем в произвольную точку и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки и трех базисных векторов называется системой координатв пространстве . Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем за базисные векторы три взаимно перпендикулярных единичных вектора . Совокупность точки и базисных векторов называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .
Выберем в произвольную точку и построим вектор . Так как векторы образуют базис, то согласно (38) вектор можно разложить на компоненты по этому базису:
, (39)
где - координаты вектора в заданном базисе.
Проведем через точку в направлении векторов оси соответственно и спроектируем вектор на каждую из осей (рис.18).
Пусть точки есть проекция точки на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Тогда
.(40)
Из сравнения (40) с (39) следует, что координаты вектора определяются по формулам
. (41)
В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора или декартовыми координатами точки . Итак,
.(42)
Координаты точки записываются в форме . Пусть вектор задан в координатной форме . Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.18), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,
. (43)
Обозначим через углы между вектором и осями координат . Тогда из прямоугольных треугольников, получим
, ,
. (44)
Косинусы углов , определяемые по (44), называются направляющими косинусами вектора . Нетрудно проверить, что направляющие косинуса связаны между собой соотношением
.
ПРИМЕР 15.1. Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат векторы имеют координаты .
Доказательство. Так как векторы образуют базис прямоугольной декартовой системе координат, то ^, ^, ^, . Следовательно,
.
Но .
По формуле (38) получим, что
.
Аналогично доказываются оставшиеся равенства.