1) ;
2) , если ^или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);
3) ;
4) для " ;
5) .
Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. согласно формуле (56) и теореме 13.2 о проекции имеем .
Пусть векторы и заданы своими координатами , .
Найдем скалярное произведение . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.
Имеем , , . Векторы взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.
Используя распределительный закон скалярного произведения, получим
Итак, если векторы и заданы своими координатами, то
(57)
Следствие 1. Если ^, то или
. (58)
Условие (58) называется условием перпендикулярности двух векторов.
Следствие 2. Так как , то
. (59)
ПРИМЕР 18.1. Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка из точки в точку под действием постоянной по величине и направлению силы .
Решение. Из курса физики известно, что работа , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле . Так как , то
.
Ответ: 5.
|
| |||||
|
|
Решение. Построим векторы и . Имеем . Тогда
^.
Ответ:.
Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяются в геометрии при поиске углов, в физике – при определении работы.