ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. 
^
;
2) вектор перпендикулярен обоим векторам и 
;
3) вектор направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора к вектору виден совершающимися против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора на вектор обозначается символом 
.
Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов 
. Покажем, что 
.
Действительно, если 
, то по определению векторного произведения:
1) 
^
;
2) ^
, ^
. Но и 
^, ^;
|
или , то кратчайший поворот вектора к вектору виден происходящим против движения часовой стрелки (рис.23).
| |||
 | |||
Итак, 
. Следовательно, .
Аналогично доказывается, что
, 
, 
, 
,
.
, 
. (60)
Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов и можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:
1) 
;
2) 
для " 
;
3) 
;
4) 
, если 
или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор;
5) 
.
Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть 
, 
. Тогда , согласно свойствам 2, 3, 4 и равенству (60), получим
Итак, если , , то
. (61)
ПРИМЕР 19.1. Сила 
приложена к точке 
. Определить момент силы относительно начала координат.
Решение. Пусть точка 
некоторая точка 
. Моментом силы 
, приложенной к точке 
, относительно точки называется вектор 
. По условию 
. Тогда, согласно формуле (61), получим
. Ответ: 
.
ПРИМЕР 19.2. Даны вершины треугольника 
. Вычислить площадь этого треугольника.
Решение. Найдем векторы 
(рис.24). Имеем:
|
|
.
|
|
Так как 
равен площади параллелограмма 
, то площадь 
треугольника 
найдется по формуле
Ответ: 14.
Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике – при вычислении моментов.