Окружность.

 

В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:

, (12)

где -действительные числа;

одновременно не равны нулю.

Линия, определяемая уравнением (12), называется кривой второго порядка.

Пусть на координатной плоскости дана окружность радиуса с центром в точке и требуется определить ее уравнение (рис.12).

Выберем на этой плоскости произвольную точку .

	M

	y
		x

 

 

Тогда :

1) если точка лежит на окружности, то

. (13)

2) если точка не лежит на окружности, то для внутренних точек круга , а для внешних точек круга . Следовательно, для всех точек, не лежащих на окружности,

.

Из 1) и 2) и определения 1.1 уравнения плоской кривой следует, что уравнение (13) есть уравнение искомой окружности.

Уравнение (13) является уравнением второй степени относительно и . Следовательно, окружность есть кривая второго порядка. Раскрыв скобки в уравнении (13), получим, что

Сравнивая с (12), найдем, что . Рассматривая полученные коэффициенты , легко заметить, что для окружности выполнились два условия:

1) коэффициент при произведении равен нулю;

2) коэффициенты при и равны между собой. Покажем, что если в (12) старшие коэффициенты и удовлетворяют условиям , то это уравнение определяет либо действительную окружность с , либо точку (), либо мнимую окружность (). Полагая для простоты выкладок в уравнении (12), получим

. (14)

Обозначим .

Рассмотрим три случая:

1) . Тогда уравнение (13) запишется в виде , т.е. определяет действительную окружность радиуса с центром в точке .

2) . Тогда (13) запишется в виде Û

Û, т.е. уравнение (13) определяет единственную точку , которую можно рассматривать как «окружность» радиуса нуль;

3) . Тогда уравнение (13) не удовлетворяется ни при каких значениях и . Следовательно, уравнение (13), не определяет никакой действительно существующей кривой или для общности говорят, что оно определяет мнимую окружность с .

Итак, если в уравнении (12) старшие коэффициенты удовлетворяют условиям , то уравнение определяет некоторую окружность.

 

10. Эллипс.

 

y

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Эллипсомназывается множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

 

Выберем на плоскости две произвольные точки и и введем систему координат , как это показано на рис.13. Обозначим через расстояние между этими точками, тогда выбранные фокусы и будут иметь координаты , а .

Пусть точка - произвольная точка плоскости . Предположим, что точка принадлежит эллипсу. Тогда, если , где , есть сумма расстояний от точки до точек и , то, по определению эллипса,

Û (14)

Избавляясь от иррациональности, уравнение (14) можно привести к виду

.

По условию . Тогда и . Пусть . Подставляя в уравнение (14), получим

, где . (15)

Пусть точка не лежит на эллипсе. Тогда для такой точки . Следовательно, координаты точки не могут удовлетворять и уравнению (15).

Итак, согласно определению 1.1 уравнения плоской кривой уравнение (15) есть уравнение искомого эллипса.

Уравнение эллипса (15) называется его каноническим уравнением.

Воспользовавшись уравнением эллипса, определим форму этой кривой. Так как переменные и входят в (15) только в четной степени, то кривая симметрична относительно осей координат. Следовательно, достаточно определить форму кривой только в первой четверти. При из (15) получим, что . При получим, что . При увеличении от 0 до переменная уменьшается от значения до 0. При не существует. Соединяя плавной кривой точки и , построим искомую кривую в первой четверти (рис.13). Используя ее симметрию относительно осей координат, построим все множество точек эллипса.

Терминология. Точки и называются фокусами эллипса. Точки ,,называются вершинами эллипса. Точка называется центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы эллипса, называется фокальной осью. Оси и называются осями симметрии эллипса.

Отрезки длины и длины называются соответственно большой и малой осями эллипса. Отрезок длины называется фокусным расстоянием.

Отрезки , длины и , длины называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Соотношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой . Итак,

. (16)

Так как по условию , то . Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно, . Следовательно, . Тогда, чем меньше , тем меньше малая ось эллипса отличается от его большой оси. Иными словами, форма эллипса приближается к форме окружности радиуса . При этом фокусы эллипса неограниченно приближаются к центру этой окружности. В пределе при эллипс превращается в окружность.

ПРИМЕР 9.1. Дан эллипс . Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет.

Решение. Разделив обе части уравнения эллипса на 225, найдем его каноническое уравнение . Отсюда . Следовательно, . Вычислим . Тогда , а фокусы эллипса расположены в точках . Эксцентриситет .