Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости
и .
Коэффициенты и уравнения плоскости являются проекциями нормального вектора к этой плоскости. Следовательно, один из смежных двугранных углов между плоскостями и равен углу между нормальными к этим плоскостям векторами:
и (рис.23).
| |||
| |||||
| |||||
|
Тогда
. (37)
По формуле (37) определяется один из смежных углов между данными плоскостями.
Следствие 1. Если плоскости и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны. Тогда
. (38)
Условия (38) называются условиями параллельности двух плоскостей.
Следствие 2. Если плоскости и перпендикулярны, то в (37) угол . Тогда . Следовательно, и
. (39)
Условие (39) называется условием перпендикулярности двух плоскостей.
ПРИМЕР 19.1. Определить, при каком значении плоскость перпендикулярна плоскости .
Решение. Векторы являются нормальныи векторами к данным плоскостям.тогда согласно условию (39) плоскости взаимно перпендикулярны, если .
Ответ: 6.
ПРИМЕР 19.2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости .
Решение. Искомая плоскость проходит через заданную точку , тогда ее уравнение, согласно формуле (34), запишется в виде
.
Искомая плоскость параллельна заданной плоскости. Тогда из условия параллельности двух плоскостей (38) получим
. Отсюда .
Подставляя найденные коэффициенты в предыдущее уравнение, найдем уравнение искомой плоскости
.
20. Прямая в пространстве . Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.
Положение прямой в пространстве может быть определено заданием:
1) любых двух точек;
2) ее точки и вектора , параллельного этой прямой;
3) 0
Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из этих случаев.
Пусть в пространстве дана точка и вектор . Тогда через точку параллельно вектору проходит единственная прямая . Для определения ее уравнения выберем в произвольную точку и построим векторы
.
| | ||||||
Согласно определению суммы векторов получим
(рис.24).
Пусть точка , тогда векторы и коллинеарны. Следовательно, , где - параметр, принимающий любое значение из в зависимости от положения точки на прямой . Тогда для точки имеем
, где . (40)
Если точка , то векторы и не коллинеарны.
Следовательно, для таких точек равенство (40) не выполняется ни при каких . Итак, уравнение (40) является векторным уравнением прямой, а вектор называется направляющим вектором прямой. Воспользовавшись координатами векторов из (40), получим
Û
(41)
Уравнения (41) называются параметрическими уравнениями прямой с параметром в пространстве .
Исключая параметр из уравнений (41), найдем, что
. (42)
Уравнения (42) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве .
Замечание. В уравнении (42) условились считать, что числа и могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства и нулю. В частности, если уравнение (423) имеет вид , о это уравнение есть уравнение прямой, перпендикулярной оси . Действительно, при направляющий вектор перпендикулярен оси . Следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой оси. Если же уравнение (42) имеет вид ,то это уравнение является уравнением прямой, перпендикулярной плоскости .
ПРИМЕР 20.1. Определить, лежит ли точка на прямой , проходящей через точку параллельно вектору .
Решение. Найдем уравнения прямой в канонической форме. Полагая , получим .
Подставляя в эти уравнения координаты точки , найдем .
Следовательно, точка принадлежит прямой .