Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки линии , называется цилиндрической поверхностью (рис.29).
|
При этом линия называется направляющей, а прямые, проходящие через точки кривой параллельно прямой , называются ее образующими.
Пусть на плоскости дана своим уравнением некоторая линия (рис.30).
|
Проведем через каждую точку кривой прямую параллельно оси . Тогда получим цилиндрическую поверхность с образующими, парллельными этой оси. Докажем, что уравнение
(53)
будет уравнением этой плоскости.
Выберем на кривой произвольную точку и проведем через нее образующую парллельно оси . Выберем на этой образующей произвольную точку (рис.30). Тогда точки и будут иметь одни и те же координтаы и . Следовательно, уравнению (53), не содержащему переменную , будут удовлетворять координаты обеих точек. А это значит, что уравнение , не содержащее переменной , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси . Аналогично доказывается, что уравнения и , не содержащие переменные и соответственно, определяют цилиндрические поверхности с образующими, парллельными осям и соответственно. Следовательно, и алгебраичесике уравнения (51), не содержащие по одной из переменных, определяют цилиндрические поверхности, образующие которых направлены вдоль соответстующих осей координат. Например, уравнение в пространстве трех переменных определяет круговой цилиндр с образующими, парллельными оси .
|
Заметим, что название цилиндрической поверхности определяется названием направляющей. Например, если направляющая дана уравнением , то кривая является параболой с осью симметрии . Тогда это же уравнение в пространстве определяет параболический цилиндр с образующими, парллельными оси (рис.31).
Аналогично уравнение определяет эллиптический цилиндр с образующими, параллельными оси , а уравнение определяет гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси .