Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением
(57)
Рассмотрим сечения горизонтальными плоскостями , где . В сечениях образуются линии
(1)
Так как при любых значениях и , то при первое уравнение не выполняется ни при каких и . Следовательно, плоскости , где , не пересекают данную поверхность.
Если , то Û. Следовательно, в сечениях плоскостямии образуется пара точек с координатами и .
Если , то . Следовательно, первое уравнение из (1) можно записать в форме
, где . (2)
Уравнение (2) является уравнением эллипса с полуосями и . Заметим, что при увеличении от значения до бесконечночти полуоси эллипса и так же неограниченно увеличиваются. Итак, при плоскости не пересекают поверхность, при в сечениях образуются точки, при в сечениях образуются эллипсы.
Пусть , где . Тогда в сечениях образуются линии
(1)
Следовательно, на плоскости при любых значениях , образуется гипербола
, где , (2)
с действительной полуосью и мнимой - , оринтированная вдоль оси .
|
В сечениях вертикальными плоскостями , где , также образуются гиперболы, ориентированные вдоль оси (исследовать самостоятельно).
Итак, в сечениях вертикальными плоскостями и при любых значениях образуются гиперболы, в сечениях горизонтальными плоскостями при образуются либо точки, либо эллипсы (рис.35).
В заключении отметим, что уравнения (52)-(57) яляются частными случаями алгебраического уравнения (51). Следовательно, рассмотренные поверхности являются разновидностями поверхностей второго пордка.