Методи рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь

Обчислення при рішенні СНАР складаються з декількох вкладених один в іншій циклічних процесів. Зовнішній цикл – цикл покрокового чисельного інтегрування, параметром циклу є номер кроку. Якщо модель аналізованого об’єкта нелінійна, то на кожному кроці виконується проміжний цикл – ітераційний цикл рішення системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР). Параметр циклу – номер ітерації. У внутрішньому циклі вирішується система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), наприклад, при застосуванні вузлового методу формування ММС такою системою є

(3.18)

де — матриця Якобі, — вектор правих частин. Тому в математичне забезпечення аналізу на макрорівні входять методи рішення СНАР й СЛАР.

Для рішення систем алгебраїчних рівнянь можна застосовувати прямі ітераційні методи. До них відносяться методи простої ітерації, Зейделя, Якобі, релаксації. Для них необхідне виконання жорстких умов збіжності, характерна порівняно повільна збіжність.

Тому в сучасних програмах аналізу найбільше поширення одержав метод Ньютона, заснований на лінеаризації СНАР. Сама модель (3.18) отримана саме відповідно до методу Ньютона. Основна перевага методу Ньютона – висока швидкість збіжності.

Представимо СНАР у вигляді

(3.19)

Розкладаючи в ряд Тейлора біля деякої точки , одержуємо

Зберігаючи тільки лінійні члени, одержуємо СЛАР з невідомим вектором :

(3.20)

де — матриця Якобі. Рішення системи (3.20) дає чергове наближення до кореня системи (3.19), що зручно позначити .

Обчислювальний процес стартує з початкового наближення й у випадку збіжності ітерацій закінчується, коли погрішність, оцінювана як

стане менше припустимої погрішності .

Однак метод Ньютона не завжди приводить до збіжних ітерацій. Умови збіжності методу Ньютона виражаються досить складно, але існує легко використовуваний підхід до поліпшення збіжності. Це близькість початкового наближення до шуканого кореня СНАР. Використання цього фактору привело до появи методу рішення СНАР, називаного продовженням рішення по параметрі.

У методі продовження рішення по параметрі в ММС виділяється деякий параметр , такий, що при корінь системи (3.19) відомий, а при збільшенні від до його дійсного значення складові вектора плавно змінюються від до дійсного значення кореня. Тоді задача розбивається на ряд подзадач, послідовно розв’язуваних при послідовних значеннях , і при досить малому кроці зміни умови збіжності виконуються.

Як параметр можна вибрати деякий зовнішній параметр, наприклад, при аналізі електронних схем їм може бути напруга джерела харчування. Але на практиці при інтегруванні СНАР в якості вибирають крок інтегрування . Очевидно, що при корінь СНАР дорівнює значенню вектора невідомих на попередньому кроці. Регулювання значень покладають на алгоритм автоматичного вибору кроку.

В цих умовах очевидна доцільність подання математичних моделей для аналізу статичних станів у вигляді СНАР, як і для динамічного аналізу.

До інших методів рішення систем алгебраїчних рівнянь, використовуваним у математичному забезпеченні САПР, відносяться методи простої ітерації, Зейделя, Якобі, релаксації.

Відповідно до методу простої ітерації обчислення виконують по формулі

(3.21)

причому для забезпечення збіжності параметр потрібно вибирати з умови для будь-якого де — -е власне значення матриці Якобі.

Метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що права частина ітераційної формули (3.24) обновляється відразу ж після обчислення чергового елемента вектора .

Відповідно до методу Якобі обчислення виконують по формулі

(3.22)

де — діагональ матриці Якобі системи рівнянь (3.18).