Уравнение касательной к кривой

Пусть кривая описывается уравнением z = z(x), а прямая – уравнением

y = kx + b (рис. 2).

Определение 1. Касательной к графику называют прямую линию

y = kx + b, которая наилучшим образом описывает исходную функцию z = z(x) в окрестности точки х₀. «Наилучшим образом» означает, что в окрестности точки х₀ выполняется z(x) – (kx + b) = α, где α = α(х – х₀) есть бесконечно малая функция при х→х₀.

Рис. 2

Выведем уравнение касательной к кривой.

В соответствии с определением производной

.

По определению предела , где β = β(х – х₀) – б.м.ф. при х→х₀. Отсюда .

Обозначим . Тогда в окрестности точки х₀ уравнение кривой z = z(x) можно представить как z = kx + b + α.

Следовательно, y = kx + b есть по определению уравнение касательной к кривой z = z(x) в точке х₀.

Определение 2. Нормалью называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.