Лекция 5. Производная и дифференциал

РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление

Лекция 5. Производная и дифференциал

Понятие производной

Рис. 1 Точка М0 имеет координаты х0, у0=f(х0). Дадим переменной х приращение Dx и переместимся по графику из точки М0 в точку…

Механический, физический и экономический смысл производной

. Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S –…

Уравнение касательной к кривой

y = kx + b (рис. 2). Определение 1. Касательной к графику называют прямую линию y = kx + b, которая наилучшим образом описывает исходную функцию z = z(x) в окрестности точки х0. «Наилучшим образом»…

Геометрический смысл производной

у – у0 = k (x – х0) = f'(x0) (x – х0) или у = f'(x0) (x – х0) + у0. Таким образом, производная k = y'0 = f'(x0) есть тангенс угла наклона кривой… Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(х) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к…

Угол между кривыми

Рис. 8 К кривым f1(x) и f2(x) проведены касательные в их общей точке М(х0, у0), уравнения которых у = k1 x + b1 и у = k2 x +…

Схема нахождения производной

Схема нахождения производной следует из ее определения:

1. Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается начальное значение функции f(x).

2. В точке х аргументу придается приращение Δх ≠ 0 и выписывается новое (наращенное) значение функции f(x + Δx).

3. Вычисляется приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

4. Составляется отношение Δy / Δx.

5. Находится предел этого отношения при Δx ® 0 (если этот предел существует).

Пример 1. Найдем производную функции у = х².

1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем начальное значение функции f(x) = х².

2. В точке х аргументу придаем приращение Δx ≠ 0 и выписываем новое значение функции f(x + Δx) = (х + Δx)².

3. Вычисляем приращение функции: Δy = f(x + Δx) – f(x) = (х + Δx)² – х² =

= x² + 2х Δx + (Δx)² – x² = Δx (2х + Δx).

4. Составляем отношение = 2х + Δx.

5. Находим предел этого отношения при Δx ® 0:

у' = .

Таким образом, получаем f'(х) = (х²)' = 2х.

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Одно из определений непрерывности гласит, что функция называется непрерывной в точке, если в этой точке . Определение 1. Функция f(x) называетсядифференцируемой в точкех, если… Δy = A·Δx + α(Δx)·Δx,

Таблица производных и правила дифференцирования

Правила дифференцирования:

21.

Докажем 16-е утверждение в случае суммы:

Правило 16 справедливо и для случая суммы любого конечного числа функций.

Докажем 19-е правило:

Дифференцирование обратной функции (п. 21). Если у = f(x) и х = g(y) – взаимно-обратные дифференцируемые функции, и y'_x ≠ 0, то

,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 1. Если , то, обозначив u=cos х, получим . Тогда .

Пример 2.,

;

.

Пример 3. , .

 

Производные высших порядков

Вообще, производной n-го порядка функции f(x) называется первая производная от производной (n-1)-го порядка: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]'.  

Понятие дифференциала функции

Пусть функция y = f(х) дифференцируема на отрезке [a, b], содержащем некоторую точку x. Тогда производная в этой точке x определятся равенством . Из… , где α(Δx) – б.м.ф. при . Отсюда

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Как следует из рис.7, погрешность от такой замены при ∆х→0 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ∆х. Подставляя в это соотношение формулу для dy и выражение для ∆у… f(х+∆х) = f(x) + ∆у ≈ f(x) + f'(х)·∆х.

Основные свойства дифференциала

1. . 2. , если x – независимая переменная. 3. .