Геометрический смысл производной

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла её наклона, то уравнение касательной у = k x + b к кривой дифференцируемой функции у=f(x) в точке М(х₀, у₀) можно записать следующим образом:

у – у₀ = k (x – х₀) = f'(x₀) (x – х₀) или у = f'(x₀) (x – х₀) + у₀.

Таким образом, производная k = y'₀ = f'(x₀) есть тангенс угла наклона кривой у=f(x) в точке х₀ к оси Ох.

Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(х) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке (рис.1).

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.

Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ и имеет правую и левую производные f'₊ и f'_-, причем f'₊ ≠ f'_-, то в точке х₀ график функции у = f(x) касательной не имеет (рис. 3). Но в точке х₀ существуют две односторонние полукасательные (правая и левая касательные). Точка на графике, в которой происходит излом графика, называется угловой точкой кривой f(x).

Рис. 3.

Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, а ее правая и левая производные в этой точке бесконечны, то возможны 4 различных случая:

1) (рис. 4);

2) (рис. 5);

3) (рис. 6);

4) (рис. 7).

Графики на рисунках проходят через точку М под углом 90^о, касательная перпендикулярна оси Ох.