Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2):
.
Докажем следующие свойства ее решений:
Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).
Доказательство.
Пусть с1, с2,…,сn – решение системы (2.2), а d1, d2,…,dn – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) xi=ci+di:
.
После перегруппировки слагаемых получим:
.
Но Следовательно, xi=ci+di является решением системы (2.2).
Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).
Доказательство.
Пусть и - решения системы (2.2). Тогда
Утверждение доказано.
Следствие. Общее решение неоднородной системы (2.2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и частного решения системы (2.2).
Пример.
Общее решение системы можно записать в виде:
, где - частное решение данной системы.