Определение 9.2. Эллипсомназывается множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему
у М(х,у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало
r1 r2 координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого
отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат
F1 O F2 x F1(-c, 0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и
сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а.
Тогда r1 + r2 = 2a, но ,
поэтому Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: (9.1)
Определение 9.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (9.2)
Определение 9.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.
Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (9.1), а уравнением второй степени другого вида.
Свойства эллипса:
1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
3) Эксцентриситет эллипса e < 1.
Действительно,
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )
5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:
Составим уравнения директрис:
(D1), (D2). Тогда Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.