Определение 9.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
у Для вывода уравнения параболы выберем декартову
систему координат так, чтобы ее началом была середина
d M(x,y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-
r су, а координатные оси располагались параллельно и
перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD
D O F x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что
поскольку
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , (9.4)
называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметромпараболы.
Свойства параболы:
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).