КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

 

1. Точка на прямой.

Точка M на прямой (шкале) задается одним числом (координатой), указывающим, на сколько единиц длины точка M удалена от начальной точки O. На шкале должно быть задано положительное направление движения. Если точка M удалена в положительном направлении от O, то координата берется со знаком +, если в направлении, противоположном положительному направлению, то координата берется со знаком –. Примером является шкала температур, где температуры определяются с определенном знаком.

 

2. Точка на плоскости.

Для задания точки на плоскости приходится использовать две шкалы, называемые координатными осями (ось абсцисс и ось ординат), пересекающимися в точке O, называемой началом координат. Традиционно изображают взаимно перпендикулярные оси координат OX и OY, причем ось OX изображают горизонтально, а ось OY вертикально. Обычно принято задавать такие направления положительных движений по осям, что положительное направление оси OX после поворота на против часовой стрелки совпадает с положительным направлением оси OY. Хотя могут быть и другие варианты.

Произвольная точка M на плоскости задается координатами ее проекций на координатные оси. Каждая проекция получается проведением через M прямой, параллельной оси, до пересечения с другой осью. Такая система координат называется декартовой (по имени знаменитого математика и философа Рене Декарта, жившего в 17 веке).

Другим способом задания точки на плоскости является задание точки в полярной системе координат. Для задания такой системы координат следует задать направленный луч (называемый полярной осью), который обычно изображают горизонтальным, направленным вправо. Положение точки M на плоскости задают расстоянием до начала луча (полярный радиус точки ) и углом, на который следует повернуть луч, чтобы точка оказалась на нем (полярный угол точки ).

Полярные координаты точки M () имеют следующие особенности: первая координата неотрицательна, а вторая координата неоднозначна, так как вместо угла можно взять угол при любом целом .

Связь между декартовыми и полярными координатами осуществляется по следующим формулам:

 

 

3. Точка в пространстве.

Для задания точки в пространстве требуется уже 3 координаты.

В случае декартовой системы координат мы строим 3 оси координат, традиционно взаимно перпендикулярные. Кроме того, обычно задают координатные оси OX, OY и OZ, составляющие правую тройку.Это означает, что если средний и большой пальцы правой руки, направить, соответственно, вдоль осей OX и OY в положительном направлении, то указательный палец правой руки укажет положительное направление оси OZ.

 

Координаты точки M в пространстве определяется проекциями точки на соответствующие оси, причем проекции получаются проведением через M плоскостей, параллельных координатным плоскостям, до пересечения с координатными осями.

 

Другой координатной системой является цилиндрическая система координат. При такой системе координат задается координатная плоскость и перпендикулярная ей координатная ось. На плоскости задаются полярные координаты, причем начало полярной оси находится в точке O пересечения заданной координатной оси с заданной координатной плоскостью. Проекция точки на плоскость задается полярными координатами. Проекция точки на заданную ось определяет третью координату. Таким образом, точка M задается координатами . Связь между цилиндрическими координатами и декартовыми координатами следующая: аппликата в декартовых и в цилиндрических координатах одна и та же, а координаты и связаны с координатами и так же, как связаны декартовы и полярные координаты на плоскости.

Еще одна координатная система в пространстве – сферическая система координат. Здесь также задаются плоскость и перпендикулярная ей ось. В точке их пересечения ставится точка O. Из точки O в заданной плоскости проводится полярная ось. Точка M в пространстве задается расстоянием до точки O (выбор радиуса сферы), углом , который отрезок, соединяющий точку O с точкой M, образуют с заданной осью (выбор меридиана), а также углом, который образует проекция отрезка OM на заданную плоскость с полярной осью (выбор параллели).

 

Связь между сферическими и декартовыми координатами осуществляется по формулам

 

 

4. Расстояние между двумя точками.

Расстояние между точками проще всего измерять с помощью декартовых координат в прямоугольной системе благодаря теореме Пифагора.

Если точки и с координатами, соответственно, и расположены на прямой, то расстояние между ними равно .

Если точки и с координатами, соответственно, и расположены на плоскости, то расстояние между ними равно .

Если точки и с координатами, соответственно, и расположены в пространстве, то расстояние между ними равно .