В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз пр иданной процентной ставке. Ответ можно получить, приравняв множитель наращения величине N:
а) для простых процентов (1+niпр.) = N, откуда n = (N-1) / iпр.
б) для сложных процентов (1+iсл.)n = N, откуда n = ln N/ ln(1+iсл.)
Особенно часто используется N=2, тогда эти формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов n = 1 / iпр,
б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+iсл.)
Если учесть , что ln2=0,7, а ln(1+iсл.)=i, то n=0,7/i
Важно учесть следующее:
1. Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2. При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
Пример: Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов 3%. Результаты сравнить.
Решение:
а) при простых процентах: n = 1/iпр = 1/0,03 = 33 1/3 года;
б) при сложных процентах и точной формуле:
n = ln2/ln(1+iсл.) = 0.693147/ln(1+0.03) = 0.693147/0.0295588 = 23.45 года;
в) при сложных процентах и приближенной формуле:
n = 0.7/i = 0.7/0.03 = 23.33 года
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
· общийметод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
S = P• (1 + i)n,
n = a + b,
где n – период сделки;
a – целое число лет;
b – дробная часть года.
· смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
S = P • (1 + i)a • (1 + bi).
Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
• в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S = P• (1 + i)a
Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение:
а) Общий метод:
S = P • (1 + i)n = 250 • (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов.
б) Смешанный метод:
S = P • (1 + i)a • (1 + bi) =
= 250 • (1 + 0,095)2 • (1 + 270/360 • 0,095) =
= 321,11 тыс. долларов.
Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят
I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов,
а по смешанному методу
I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.