Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно 9» следует предикат В(х): «число х кратно 3», т.к. мы знаем, что при всех значениях х, при которых истинно утверждение «число х кратно 9» будет и истинно утверждение «число х кратно 3».
Определение. Предикат В (х) следует из предиката А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых истинен предикат А (х).
В этом случае говорят, что данные предложении находятся в отношении логического следования и обозначают: А (х) Þ В (х).
Выясним в каком отношении находятся области истинности предикатов А (х) и В (х).
ТА = {9; 18; 27; …}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …}. Видим, что ТА Ì ТВ.
Таким образом, А (х) Þ В (х) Û ТА Ì ТВ.
Если А (х) Þ В (х), то предикат В (х) называют необходимым условием для А (х), а предикат А (х) – достаточным условием для В (х).
Так, утверждение о том, что если число кратно 9, то оно кратно 3, можно сформулировать так: «кратность числа 9 является достаточным условием кратности числа 3» или «кратность числа 3 является необходимым условием его кратности 9».
Как и любое высказывание, предложение А (х) Þ В (х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А (х) есть В (х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а то, что оно ложно – с помощью контрпримера.
Рассмотрим два предиката: А (х): «число оканчивается нулем» и В (х): «число делится на 10». Из школьного курса математики известно, что если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Верно и обратное. В этом случае говорят, что предложения А (х) и В (х) равносильны.
Определение. Предикаты А (х) и В (х) равносильны, если из предиката А (х) следует предикат В (х), а из предиката В (х) следует предикат.
Для обозначения отношения равносильности используется знак Û.
Высказывание А (х) Û В (х) можно прочитать так: А (х) равносильно В (х), А (х) тогда и только тогда, когда В (х), А (х) необходимое и достаточное условие для В (х), В (х) необходимое и достаточное условие для А (х).
Заметим, что А (х) Û В (х) тогда и только тогда, когда ТА = ТВ.