Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений.
Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила.
1. Правило заключения: .
В данном правиле А(х) Þ В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение вида А(х) Þ В(х). Вторая посылка А(а) – частная посылка, а предложение В(а) – заключение.
Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А ® В) Ù А) ®В).
Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности.
А | В | А® В | А® В Ù А | (А® В Ù А) ®В |
И | И | И | И | И |
И | Л | Л | Л | И |
Л | И | И | Л | И |
Л | Л | И | Л | И |
2. Правило отрицания: .
Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А ® В) Ù ) ®).
А | В | А® В | А® В Ù | (А® В Ù ) ® | ||
И | И | И | Л | Л | Л | И |
И | Л | Л | И | Л | Л | И |
Л | И | И | Л | Л | И | И |
Л | Л | И | И | И | И | И |
3. Правило силлогизма: .
Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы.
В основе правила лежит тождественно истинная формула (А ® В) Ù В ® С) ® (А ® С).
А | В | С | А ® В | В ® С | (А ® В) Ù (В ® С) | А ® С | (А ® В) Ù В ® С) ® (А ® С) |
И | И | И | И | И | И | И | И |
И | И | Л | И | Л | Л | Л | И |
И | Л | И | Л | И | Л | И | И |
Л | И | И | И | И | И | И | И |
Л | Л | И | И | И | И | И | И |
Л | И | Л | И | Л | Л | И | И |
И | Л | Л | Л | И | Л | Л | И |
Л | Л | Л | И | И | И | И | И |
4. Правило контрапозиции: .
Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (А ® В) ® (®).
А | В | А® В | ® | (А ® В) ® (®) | ||
И | И | Л | Л | И | И | И |
И | Л | Л | И | Л | Л | И |
Л | И | И | Л | И | И | И |
Л | Л | И | И | И | И | И |