ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ЭТФ (ИРЭ)(ЭР–1÷7, ЭЛ-15), 1 семестр, 23, 2013/2014 уч. год
Лектор Богомолова Е.П.
Экзаменационная программа
1. Окрестности на расширенной числовой прямой. Определение предела в точке и при . Односторонние пределы. Иллюстрация. 2. Определение бесконечно малой функции в точке и при . Арифметические… 3. Теорема об асимптотическом представлении функции, имеющей конечный предел. Действия с пределами.ПРИМЕРНЫЕ ТИПЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Тип 1. Дана функция 
. Найти:
а) производные первого и второго порядков;
б) дифференциалы первого и второго порядков;
в) формулы Тейлора первого, третьего и др. порядков в точках 
и 
;
г) формулу Лагранжа на отрезке 
;
д) среднее значение на отрезке ;
е) точки экстремума и уравнения касательных в этих точках;
ж) точки перегиба графика функции и уравнения касательных в этих точках;
з) асимптоты графика функции;
и) интеграл на ;
к) интеграл на 
;
л) приближённое значение интеграла на 
от функции 
.
Тип 2. Дана функция 
.
а) провести полное исследование функции и построить график функции;
б) по графику функции построить график её производной;
в) по графику функции построить график одной из её первообразных.
Тип 3. Дана функция 
. Найти:
а) предел функции при 
;
б) производную первого порядка.
Тип 3. В полярной системе координат для функции 
:
а) определить допустимые значения полярного угла;
б) изобразить соответствующую кривую;
в) найти длину этой кривой при 
;
г) найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой при 
, и полярной осью.
Тип 4. Для поверхности 
:
а) определить тип;
б) изобразить линии её пересечения с координатными плоскостями;
в) найти точки пересечения с координатными осями;
г) узнать, пересекает ли её прямая, проходящая через начало координат и имеющая направляющий вектор 
.
Тип 5. Даны два числа 
и 
. Найти:
а) модуль и аргумент каждого из чисел (изобразить на комплексной плоскости);
б) комплексно сопряжённые числа для каждого их чисел;
в) сумму и произведение данных чисел;
г) корень уравнения 
;
д) тригонометрическую и показательную формы для каждого из чисел.
Тип 4. Даны точки А (1,–2,3), В (–1,0,3), С (5,0,–1), О (0,0,0). Найти:
а) объем пирамиды построенной на векторах 
;
б) уравнение прямой, содержащей ребро 
;
в) площадь грани с ребрами 
и 
;
г) расстояние от точки O до грани с ребрами 
и ;
д) уравнение прямой, содержащей высоту пирамиды, опущенной из точки 
;
е) уравнение плоскости, проходящей через точку и середины ребер 
и ;
ж) точку пересечения высоты, проведенной из точки и грани 
;
з) уравнение перпендикуляра, проведенного к грани 
через точку пересечения медиан 
;
и) уравнение плоскости, проходящей через вершину 
параллельно грани 
;
к) уравнения плоскости, проходящей через вершины 
и перпендикулярно
грани 
л) расстояние от основания высоты, проведенной из вершины до точки 
;
м) угол между гранями и 
;
н) угол между ребрами 
и 
;
о) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды 
плоскостью, проходящей через середины ребер 
и ;
п) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды 
плоскостью, проходящей через середину ребра параллельно грани 
.
Тип 5. Дана матрица 
а) решить систему 
б) решить систему 
при 
в) решить систему 
г) решить систему 
, где 
д) решить систему 
, где 
ж) найти базис пространства решений системы 
з) найти какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы 
Тип 6. Дан оператор в пространстве R3, действующий следующим образом А:
в базисе е1, е2, е3.
а) найти его матрицу;
б) найти его собственные значения и собственные векторы;
в) найти образ вектора 
;
г) найти образы базисных векторов е1, е2, е3 и матрицу Ае в базисе е;
д) найти матрицу Аf оператора А в базисе 
е) найти матрицу 
обратного оператора А-1 в базисе е;
ж) найти ранг оператора 
где 
.