При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
1.1. Соединениями называют различные группы, составленные из каких – либо объектов.
Элементами называют объекты, из которых составлены соединения.
Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.
1.2. Перестановками из n элементов называют соединения, каждое из которых содержит n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.
Число всех перестановок из n элементов обозначается символом Рn
Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. Рn = 1·2∙3∙…∙ (n-1)n.
Произведение n натуральных чисел от 1 до n принято сокращенно обозначать n!, т.е. 1·2∙3∙…∙ (n-1)n = n! (читается “эн - факториал”)
Тогда формулу для числа перестановок запишем в виде: Рn = n!.
Например, Р5 = 1·2∙3∙4∙5 = 120.
Пользуясь понятием фокториала формулу для числа размещений можно записать так:
Аmn= n!(n-m)!
1.3. Размещениями из n элементов по m , (m ≤ n) называются такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по m обозначается символом Аmn
Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных чисел натурального ряда, наибольшим из которых является n, т.е.
Аmn = n (n –1) (n –2) … (n –(m - 1).
Например, вычислить А35. Имеем: n=5, m=3.
И A35 = 5(5-1)(5-(3-1))= 5 . 4 . 3 = 60
1.4 Сочетаниями из n элементов по m (m ≤ n) называют соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются только элементами (хотя бы одним).
Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом Cmn
Число всевозможных сочетаний из n элементов по m равно частному от деления произведения последовательных чисел натурального ряда, наибольшее из которых равно n, на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, т.е.
Сmn = _ n(n – 1)(n – 2) … (n – (m – 1))__
1 ∙ 2 ∙ 3…m .
Формулу для числа сочетаний из n элементов по k можно представить через число размещений и перестановок:
Cmn = _ n! _
m!(n-m)!
Например: Сmn = С35 = _5∙4. 3_ = 10.
1·2. 3