Теория вероятностей и математическая статистика

ВВЕДЕНИЕ

 

Предлагаемые методические указания предназначены для выполнения контрольной работы по теории вероятностей студентами университета очно-заочной формы обучения

Особенностью данного пособия является то обстоятельство, что, рассматриваемые задачи в данном пособии подобраны так, что их условия соответствуют задачам, входящим в перечень контрольных работ, выполняемых студентами – заочниками. Это вызвано тем, что студенты – заочники в силу специфики своей работы, подчас не имеют возможности получить своевременную квалифицированную консультацию по дисциплине.

Студент, пользующийся данным пособием, должен перед выполнением контрольной работы изучить относящийся к ней раздел теории, разобрать решенные задачи и только после этого приступить к решению задач, входящих в контрольную работу.

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е Теория вероятностей и математическая статистика/Е.В.Гмурман .- М., Высшая школа, 2003.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е.Гмурман .- М., Высшая школа, 2003.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ Ч. 2 П.Е.Данко,А.Г. Попов.,Т.Я. Кожевникова.

М. “Оникс 21 век”, “Мир и образование” 2003.

4. Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов: Учеб. Пособие / В.И.Ермаков, В.Е.Барбаумов, Н.Н.Кривенцова и др.- М.: Инфра – М, 2007.

5. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н.Кузнецов – М. : Высшая школа, 2003-2006.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей/Б.В.Гнеденко.- М., Высшая школа, 2000.

2. ВентцельЕ.С Теория вероятностей/Е.С.Вентцель-М.Высшая школа. 2001.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А.Свешникова, М., Наука 2000.

4. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2005.

5. Федосеев В.В Экономико- математические методы и модели / В.В.Федосеев, Н.Н. Гармаш и др. – М.: Юнити, 2002.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.

Вопросы организации и планирования производства также связаны с необходимостью учета случайных событий и, следовательно, не могут быть решены без…    

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.1. Соединениями называют различные группы, составленные из каких – либо объектов. Элементами называют объекты, из которых составлены соединения. Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.2. Событие – результат (исход) опыта. События обозначают: А, В, С. Например: выстрел, произведенный из орудия по цели – испытание. Попадание в цель или промах – событие.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ

Пусть события А1 , А2 , …, Аn независимы в совокупности, причем вероятности Р (А1)=р1 , Р (А2)=р2 , … , Р (Аn)=рn ; пусть в результате испытания… Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из… А1 , А2 , …, Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей…

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Р (А) =Р (Н1 ) ∙ Р (А /Н1 ) + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) + … + Р(Нn)…

ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, … Нn, которые образуют полную группу…   Р (Нi /А) = Р (Н1) · Р (А/Н1) ( i=1,2,…, n),

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

7.2 Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1),… Рn (k) = C kn pk qn - k,

.

Ответ: Вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах

равна 162

625 .

 

ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой…

Ответ: 0,9876

Задача 18 . Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью равной 0,90 можно было бы утверждать, что относительная частота появления события… Решение. По условию  

М(с) = 0.

 

Ø Постоянный множитель можно выносить за знак математическое ожидание математического ожидания:

 

М(сX) = сМ(X).

 

Ø Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

 

М(X₁X₂ … X_n) = М(X₁)•М(X₂) … •М(X_n).

 

Ø Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

 

М(X₁ + X₂ + … + X_n) = М(X₁) + М(X₂) + … +М(X_n).

 

10.7. Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

 

М(X) = nр.

 

10.8. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между этой случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

 

10.9. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М[х – М(X)]².

 

Удобнее для вычисления дисперсии пользоваться формулой

 

D(X) = М(X²) – [М(X)]².

 

Дисперсия обладает следующими свойствами:

 

Ø дисперсия постоянной равна нулю:

 

D(с) = 0;

 

Ø постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

 

D(cX) = c²D(X);

 

Ø дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

 

D(X₁ + X₂ + … +X_n) = D(X₁) + D(X₂) + … + D(X_n);

 

Ø дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

 

D(X – Y) = D(X) – D(Y).

 

10.10. Если производится n независимых испытаний, в каждом их которых вероятность р появления события А постоянна, то дисперсия числа появлений события А равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

 

D(X) = nрq.

 

10.11. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

 

σ (X) = .

10.12. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

 

Для задания непрерывной случайной величины используется так называемая функция распределения вероятностей случайной величины, т.е. вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньше х. Вероятность события Х < х обозначается: F(x)

Функцией распределения случайной величины Х называется такая функция F(x), которая определяется для каждого значения Х как вероятность выполнения неравенства Х < х, т.е. F(x)=P(X < x).

Геометрически это равенство понимается так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

 

Функция распределения обладает следующими свойствами:

 

Ø Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

 

0 ≤ F(x) ≤ 1;

 

Ø Функция распределения – функция неубывающая, т.е.

 

F(x₂) ≥ F(x₁), если х₂>х₁.

 

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

 

P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

 

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю;

 

Ø Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: 1) F(x)=0 при х ≤ a; 2) F(x)=1 при х ≥ b.

 

Следствие3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

lim F(x) = 0; lim F(x) = 1.

^{x → - ∞ x → ∞}

График функции распределения

Ø График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1; Ø При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все… Ø При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

, где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение Х.

Приложение 1

Таблица значений функции

 

x		I
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1.2
1.3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1.9

 

 

Продолжение приложения 1

 

x		I
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

 

Приложение 2

 

Табличные значения функции

 

x	Ф(х)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,23	0,0910	0,46	0,1772	0,69	0,2549
0,01	0,0040	0,24	0,0948	0,47	0,1808	0,70	0,2580
0,02	0,0080	0,25	0,0987	0,48	0,1844	0,71	0,2611
0,03 0,04	0,0120 0,0160	0,26 0,27	0,1026 0,1064	0,49 0,50	0,1879 0,1915	0,72 0,73	0,2642 0,2673
0,05	0,0199	0,28	0,1103	0,51	0,1950	0,74	0,2703
0,06	0,0239	0,29	0,1141	0,52	0,1985	0,75	0,2734
0,07	0,0279	0,30	0,1179	0,53	0,2019	0,76	0,2764
0,08	0,0319	0,31	О1217	0,54	0,2054	0,77	0,2794
0,09 0,10	0,0359 0,0398	0,32 0,33	0,1255 0,1293	0,55 0,56	0,2088 0,2123	0,78 0,79	0,2823 0,2852
0,11	0,0438	0,34	0,1331	0,57	0,2157	0,80	0,2881
0,12	0,0478	0,35	0,1368	0,58	0,2190	0,81	0,2910
0,13	0,0517	0,36	0,140б	0,59	0,2224	0,82	0,2939
0,14	0,0557	0,37	0,1443	0,60	0,2257	0,83	0,2967
0,15	0,0596	0,38	0,1480	0,61	0,2291	0,84	0,2995
0,16	0.0636	0,39	0,I5I7	0,62	0,2324	0,85	0,3023
0,17	0,0675	0,40	0,1554	0,63	0,2357	0,86	0,3051
0,18	0,0714	0.41	0,1591	0,64	0,2389	0,87	0,3078
0,19	0,0753	0,42	0,1628	0,65	0,2422	0,88	0,3106
0,20	0,0793	0,43	0,1664	0,66	0.2454	0,89	0,3133
0,21 0,22	0,0832 0,0871	0,44 0,45	0,1700 0,1736	0,67 0,68	0,2486 0,2517	0,90 0,91	0,3159 0,3186

 

 

Продолжение приложения 2

 

x	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	x	Ф(x)
0,92	0,3212	1,18	0,3810	1,44	0,4251	1,70	0.4554
0,93	0,3238	1,19	0,3830	1,45	0.4265	1,71	0,4564
0,94	0,3264	1,20	0,3849	1.46	0,4279	1,72	0,4573
0,95	0,3289	1,21	0.3869	1,47	0,4292	1.73	0,4582
0.96	0,3315	1,22	0,3883	1,48	0,4306	1.74	0.4591
0,97	0,3340	1,23	0,3907	1,49	0,4319	1,75	0.4599
0.98	0,3365	1,24	0,3925	1,50	0,4332	1,76	0.4608
0,99	0,3389	1,25	0,3944	1,51	0,4345	1,77	0,4616
1,00	0,3413	1,26	0,3962	1,52	0,4357	1,78	0,4625
1,01	0,3438	1,27	0,3980	1,58	0,4370	1.79	0,4633
1,02	0,3461	1,28	0,3997	1,54	0,4382	1,80	0,4641
1,03	0,3485	1,29	0,4015	l.55	0,4394	1,81	0,4649
1,04	0,3508	1.30	0,4032	1,56	0,4406	1.82	C,4656
1,05	0,3531	1.31	0,4049	1,57	0,4418	1.83	0,4664
1,06	0,3554	1,32	0,4066	1,58	0,4429	1.84	0,4671
1,07	0,3577	1,33	0,4082	1,59	0,4441	1,85	0,4678
1,08	0,3599	1,34	0,4099	1,60	0,4452	1.86	0,4686
1,09	0,3621	1,35	0,4115	1,61	0,4463	1,87	0,4693
1,10	0,3643	1,36	0,4131	1,62	0,4474	1,88	0,4699
1,11	0,3665	1,37	0,4147	1,63	0,4484	1.89	0,4706
I.I2	0,3686	1.38	0,4162	1,64	0.4495	1,90	0.4713
1,13	0,3708	1,39	0,4177	1,65	0,4505	1,91	0,4719
1,14	0,3729	1,40	0,4192	1,66	0,4515	1,92	0.4726
1.15	0.3749	1,41	0,4207	1,67	0,4525	1,93	0.4732
1,16	0,3770	1,42	0.4222	1,68	0.4585	1,94	0,4738
1,17	0,3790	1,43	0.4236	1,69	0,4545	1.95	0,4744

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение……………………………………………………………3

Основная литература……………………….…………………………….3
Дополнительная литература…………………………………..…...3

1. Основные формулы комбинаторики…………………….……..4

2. Основные понятия теории вероятностей……………….……...5

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей………….……9

4. Вероятность появления хотя бы одного события…….………13

5. Формула полной вероятности………………………………....14

6. Формула Бейеса…………………………………………….…..16

7. Формула Бернулли…………………………………………..….17

8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа………………....19

9. Вероятность отклонения относительной частоты от теоретической вероятности…………………………………..…..21

10. Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин……………………….………………………………..…...23

11. Нормальное распределение……………………………….…34

12. Элементы математической статистики……………………..35

13. Задачи для контрольных работ……………………………...40

14. Решение типовых заданий контрольной работы…………..43

15. Приложения…………………………………………………..46