Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, … Нn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:
Р (Нi /А) = Р (Н1) · Р (А/Н1) ( i=1,2,…, n),
Р (А)
где Р (А) – формула полной вероятности.
Задача 12.Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,2; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,3. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.
Решение. Обозначим через А событие – обнаружена ошибка в перфокарте. Можно сделать два предположения (гипотезы).
Н1 – набивала перфокарты перфораторщица №1
Н2 – набивала перфокарты перфораторщица №2. Поскольку имеется две гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице
Р(Н1) = Р(Н2) = ½, то ( Р(Н1) + Р(Н2) = 1 )
Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустила ошибку :
Р (А/Н1) =0,2 , а вторая – Р (А/Н2) = 0,3.
Вероятность, что при сверке перфокарт была допущена ошибка, находим по формуле полной вероятности:
Р (А) =Р (Н1) ∙ Р (А /Н1 + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) = 1/2· 0,2+ 1/2 · 0,3 = 0,25.
Искомая вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица, по формуле Бейеса равна:
Р (Н2 /А) = Р (Н2) · Р (А/Н2) = 0,15 = 3 .
Р (А) 0,25 5
Ответ: Вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщика равна 3/5.