Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h₀ и радиус r₀ жестяного бака объема V = 30 м³, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

1. Построение модели.Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

, .

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. С математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная обращается в ноль: . Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r_0., следовательно, в точке r₀ функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀.Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту .

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота