Свойства определителей

 

1^о Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его значение не изменится. То есть значение определителя матрицы равно значению определителя матрицы , транспонированной по отношению к матрице .

Например, .

Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов.

 

2^о Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.

Например,

– здесь поменяли местами первый и второй столбцы.

 

3^о Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Например,

– здесь элементы третьего столбца исходного определи-теля имеют общий множитель 2.

Замечание. Обратите внимание на то, что если умножаем матрицу на число, то умножаются все ее элементы на это число, а для того, чтобы умножить определитель на число – достаточно на это число умножить элементы какой либо одной строки (столбца).

 

4^о Если в определителе какую-либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.

Например,

– здесь первый столбец сложили со вторым, умножен-ным на 3.

 

5^о Если каждый элемент -го столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых первый в -том столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах те же, т.е.

.

Например,

6^о Определитель равен нулю, если:

§ он имеет два одинаковых столбца (или строки);

§ все элементы некоторого столбца (или строки) равны нулю;

§ соответствующие элементы двух его строк (или столбцов) пропорциональны;

§ одна из его строк (столбцов) есть линейная комбинация двух других его строк (столбцов).

Таким образом,

; ; ; .

В первом определителе первая и третья строки одинаковые; во втором – вторая строка состоит из нулей; в третьем – третья строка есть первая, умноженная на (–2); в четвертом – третий столбец есть первый, умноженный на 2 плюс второй, т.е. третий столбец – это линейная комбинация первых двух.